7.1 Increasing and Decreasing Functions - 增函数和减函数

知识点总结与练习题

核心知识点

1. 增函数和减函数的定义

核心概念 (Core Concept)：

  • 增函数：如果 \(f'(x) \geq 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\) 成立，则函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上是增函数
  • 减函数：如果 \(f'(x) \leq 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\) 成立，则函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上是减函数
  • 严格增函数：如果 \(f'(x) > 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\) 成立
  • 严格减函数：如果 \(f'(x) < 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\) 成立

公式 (Formula)：

增函数：\(f'(x) \geq 0\) 对所有 \(a < x < b\)

减函数：\(f'(x) \leq 0\) 对所有 \(a < x < b\)

2. 导数与函数单调性的关系

几何意义 (Geometric Meaning)：

  • \(f'(x) > 0\)：函数图像在该点处向上倾斜，函数在该点附近递增
  • \(f'(x) < 0\)：函数图像在该点处向下倾斜，函数在该点附近递减
  • \(f'(x) = 0\)：函数图像在该点处水平，可能是极值点

应用场景 (Application)：通过导数的符号判断函数的单调性。

3. 严格单调性与非严格单调性

核心方法 (Core Methods)：

  • 严格增函数：\(f'(x) > 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\)
  • 增函数：\(f'(x) \geq 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\)
  • 严格减函数：\(f'(x) < 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\)
  • 减函数：\(f'(x) \leq 0\) 对所有 \(x \in [a,b]\)

注意：在考试中，严格和非严格不等式都可以使用。

关键词汇表

增函数 Increasing Function
减函数 Decreasing Function
严格增函数 Strictly Increasing
严格减函数 Strictly Decreasing
单调性 Monotonicity
导数 Derivative
切线斜率 Tangent Slope
区间 Interval

例题解析

Example 1: 证明函数为增函数

题目：证明函数 \(f(x) = x^3 + 24x + 3\) 对所有实数 \(x\) 都是增函数。

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：求导数 \(f'(x) = 3x^2 + 24\)
  • 步骤2：分析导数的符号 \(3x^2 + 24 \geq 24 > 0\)
  • 步骤3：由于 \(x^2 \geq 0\) 对所有实数 \(x\) 成立
  • 结论：所以 \(f(x)\) 对所有实数 \(x\) 都是增函数

Example 2: 分段单调性分析

题目：分析函数 \(f(x) = x^4 - 2x^2\) 的单调性。

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：求导数 \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1)\)
  • 步骤2：分析导数的符号
  • 步骤3：当 \(x < -1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数递减
  • 步骤4：当 \(-1 < x < 0\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数递增
  • 步骤5：当 \(0 < x < 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数递减
  • 步骤6：当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数递增

Question 1

求函数 \(f(x)\) 为增函数的 \(x\) 值，已知 \(f(x)\) 等于：

a) \(3x^2 + 8x + 2\)

b) \(4x - 3x^2\)

c) \(5 - 8x - 2x^2\)

d) \(2x^3 - 15x^2 + 36x\)

答题区域：

Question 2

求函数 \(f(x)\) 为减函数的 \(x\) 值，已知 \(f(x)\) 等于：

a) \(x^2 - 9x\)

b) \(5x - x^2\)

c) \(4 - 2x - x^2\)

d) \(2x^3 - 3x^2 - 12x\)

答题区域：

Question 3

证明函数 \(f(x) = 4 - x(2x^2 + 3)\) 对所有 \(x \in \mathbb{R}\) 都是减函数。

提示：先化简函数表达式，然后求导数。

答题区域：

Question 4

a) 已知函数 \(f(x) = x^2 + px\) 在区间 \([-1,1]\) 上是增函数，求 \(p\) 的一个可能值。

b) 说明这是否是 \(p\) 的唯一可能值。

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) \(f(x) = 3x^2 + 8x + 2\)，\(f'(x) = 6x + 8\)

当 \(f'(x) > 0\) 时，\(x > -\frac{4}{3}\)，所以函数在 \((-\frac{4}{3}, +\infty)\) 上递增

b) \(f(x) = 4x - 3x^2\)，\(f'(x) = 4 - 6x\)

当 \(f'(x) > 0\) 时，\(x < \frac{2}{3}\)，所以函数在 \((-\infty, \frac{2}{3})\) 上递增

c) \(f(x) = 5 - 8x - 2x^2\)，\(f'(x) = -8 - 4x\)

当 \(f'(x) > 0\) 时，\(x < -2\)，所以函数在 \((-\infty, -2)\) 上递增

d) \(f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x\)，\(f'(x) = 6(x-2)(x-3)\)

当 \(f'(x) > 0\) 时，\(x < 2\) 或 \(x > 3\)，所以函数在 \((-\infty, 2)\) 和 \((3, +\infty)\) 上递增

答案：a) \((-\frac{4}{3}, +\infty)\)；b) \((-\infty, \frac{2}{3})\)；c) \((-\infty, -2)\)；d) \((-\infty, 2)\) 和 \((3, +\infty)\)
Question 2 解析

a) \(f(x) = x^2 - 9x\)，\(f'(x) = 2x - 9\)

当 \(f'(x) < 0\) 时，\(x < \frac{9}{2}\)，所以函数在 \((-\infty, \frac{9}{2})\) 上递减

b) \(f(x) = 5x - x^2\)，\(f'(x) = 5 - 2x\)

当 \(f'(x) < 0\) 时，\(x > \frac{5}{2}\)，所以函数在 \((\frac{5}{2}, +\infty)\) 上递减

c) \(f(x) = 4 - 2x - x^2\)，\(f'(x) = -2 - 2x\)

当 \(f'(x) < 0\) 时，\(x > -1\)，所以函数在 \((-1, +\infty)\) 上递减

d) \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x\)，\(f'(x) = 6(x-2)(x+1)\)

当 \(f'(x) < 0\) 时，\(-1 < x < 2\)，所以函数在 \((-1, 2)\) 上递减

答案：a) \((-\infty, \frac{9}{2})\)；b) \((\frac{5}{2}, +\infty)\)；c) \((-1, +\infty)\)；d) \((-1, 2)\)
Question 3 解析

\(f(x) = 4 - x(2x^2 + 3) = 4 - 2x^3 - 3x\)

\(f'(x) = -6x^2 - 3\)

由于 \(x^2 \geq 0\) 对所有实数 \(x\) 成立，所以 \(-6x^2 \leq 0\)

因此 \(f'(x) = -6x^2 - 3 \leq -3 < 0\) 对所有实数 \(x\) 成立

所以函数 \(f(x)\) 对所有实数 \(x\) 都是减函数。

答案：函数对所有实数都是减函数
Question 4 解析

a) \(f(x) = x^2 + px\)，\(f'(x) = 2x + p\)

在区间 \([-1,1]\) 上，\(f'(x) \geq 0\)

考虑端点：\(f'(-1) = -2 + p \geq 0\)，所以 \(p \geq 2\)

\(f'(1) = 2 + p \geq 0\)，所以 \(p \geq -2\)

因此 \(p \geq 2\)，取 \(p = 2\) 是一个可能值。

b) 这不是唯一值。任何 \(p \geq 2\) 的值都满足条件。

答案：a) \(p = 2\)；b) 不是唯一值，任何 \(p \geq 2\) 都满足条件